定义：当点P在射线OA上时，把OPOA的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值，例如：如图1，△

Question

定义：当点P在射线OA上时，把 (OP)/(OA)的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值，例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为 (OP)/(OA)= (1)/(3)．
（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形；
其中真命题有___
A．①②B．②③C．①③D．①②③
（2）已知：点C是射线OA上一点，CA=OA=1，以O为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为 (1)/(2)，求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB不一定是锐角三角形．
②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB=90°，△ABC是直角三角形．
③正确．B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，△ABC是钝角三角形．故答案为B．

（2）①如图2中，作BH⊥OC于H．

∵(OH)/(OC)=(1)/(2)，(OB)/(OC)=(1)/(2)，OA=OB=OC=1，
∴(OH)/(OB)=(OB)/(OC)，∵∠BOH=∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO=∠CBO=90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．

②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上以及OC上方部分的情形．

当∠DOB<90°时，设DM=h，
∵BD=DC，
∴S_△OBD=S_△ODC，
∴(1)/(2)•OB•DN=(1)/(2)•OC•DM，
∴DN=2h
∵OD²=DN²+ON²=DM²+OM²，
∴4h²+y²=h²+x²，
∴3h²=x²-y²      ①，
∵BD²=CD²，
∴4h²+（1-y）²=h²+（2-x）²     ②，
①②消去y得到y=2x-(3)/(2)．
如图，当∠BOD=90°时，

在Rt△ODM中，易知OD=2DM，
∴∠DOM=30°，设DM=h，则OD=2h．OM=√(3)h，
∴h²+（2-√(3)h）²=1²+4h²，
∴h=(√(3))/(4)，
∴OM=(3)/(4)，
当点B在OC上时，OD=(1)/(2)，
综上所述，当(1)/(2)≤x≤(3)/(4)时，y=0，
当(3)/(4)<x≤(3)/(2)时，y=2x-(3)/(2)．