已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为三分之根号6,短轴一个端点到右焦点的距离为根号三.(1)求椭圆C的方程(2)设直线l与椭圆c交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为二分之根号三,求三角形AOB

Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为三分之根号6,短轴一个端点到右焦点的距离为根号三
.(1)求椭圆C的方程(2)设直线l与椭圆c交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为二分之根号三,求三角形AOB的最大值 ,

Answer 1

答：
(1)短轴一个端点到右焦点距离为√3,即a=√3,因为√3=√(b²+c²)=a
所以e=c/a=√6/3,所以c=√2
所以b²=a²-c²=1
所以方程为：x²/3+y²=1
(2)两种情况分类讨论
①当直线l斜率不存在时,l方程为：x=±√3/2,此时代入椭圆方程得：y=±√3/2
所以|AB|=√3,S△=3/4
②当斜率存在时,l方程为y=kx+b,O到直线距离d=|b|/√(1+k²)=√3/2.
所以b=±3(1+k²)/4,由椭圆对称性现在只讨论b>0情况,即b=√(3+3k²)/2.
y=kx+√(3+3k²)/2与x²/3+y²=1联立整理得：
(1+3k²)x²+6k√(3+3k²)x+(3k²-3)/4=0
x1+x2=-6k√(3+3k²)/(1+3k²),x1x2=(3k²-3)/(4+12k²)
|AB|=|x1-x2|√(1+k²)=√[(x1+x2)²-4x1x2]√(1+k²)
运算得
|AB|=√(99k^4+114k²+3)/(1+3k²)
令k²=t则|AB|=f(t)=√3√(33t²+38t+1)/(1+3t),f'(t)=0时解得t=2/3,此时f(t)为极大值.
此时k²=2/3,|AB|=√123/3,S=√41/4>3/4
所以S△AOB最大值为√41/4.