已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点，且.(I)求椭圆的标准方程；(II)设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左

Question

已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率 ,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点，且 .
(I)求椭圆的标准方程；
(II)设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点巧恰为ΔBCD的垂心?若存在,求出l的方程 _r 若不存在,请说明理由.

Answer 1

已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率 ,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点，且 .
(I)求椭圆的标准方程；
(II)设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点巧恰为ΔBCD的垂心?若存在,求出l的方程 _r 若不存在,请说明理由.

（Ⅰ）设焦点坐标为F ₁ (-c，0)，F ₂ (c，0)，
由 ，得 ．   ①
由题知 A(a，0)，K( ，0)，
∴ =(c-a，0)， =( -a，0)，
由 得 ②
由①、②解得 ，c=1，从而b ² =a ² -c ² =1，即b=1．
∴ 椭圆方程为 ．……………… ……………………………………4分
（Ⅱ）假设存在直线l满足题意，B(0，1)，F ₁ (-1，0)，
于是直线 F ₁ B的斜率为 ．
由于BF ₁ ⊥CD，令l：y=-x+m，代入x ² +2y ² =2整理，得
3x ² -4mx+2m ² -2=0.
令C(x ₁ ，y ₁ )，D(x ₂ ，y ₂ )，则
又 =(x ₁ +1，y ₁ )·(x ₂ ，y ₂ -1)
=x ₁ x ₂ +x ₂ +y ₁ y ₂ -y ₁
=x ₁ x ₂ +x ₂ +(m-x ₁ )(m-x ₂ )-(m-x ₁ )
=2x ₁ x ₂ +m ² -m(x ₁ +x ₂ )-m+(x ₁ +x ₂ )
=2x ₁ x ₂ +(1-m)(x ₁ +x ₂ ) +m ² - m，
由 ，代入x ₁ +x ₂ ，x ₁ x ₂ 得 ，
整理得3m ² +m-4= 0，
解得m=1或 ．……………………………………………………………10分
当m=1时，直线l恰过B点，于是B、C、D不构成三角形，故m=1舍去．
当 的，满足Δ=8(3-m ² )>0．
故所求的直线l为： ，即3x+3y+4=0．

略