已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=55，直线l交椭圆于M、N两点．（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=(√(5))/(5)，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

Answer 1

（1）由已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），
∴b=4，
又∵离心率e=(c)/(a)＝(√(5))/(5)，
即(c2)/(a2)＝(1)/(5)，
∴(a2−b2)/(a2)＝(1)/(5)，解得a²=20，
∴椭圆方程为(x2)/(20)+(y2)/(16)＝1； …（3分）
由4x²+5y²=80与y=x-4联立，
消去y得9x²-40x=0，
∴x₁=0，x2＝(40)/(9)，
∴所求弦长|MN|＝√(1+12)|x2−x1|＝(40√(2))/(9)；            …（6分）
（2）椭圆右焦点F的坐标为（2，0），
设线段MN的中点为Q（x₀，y₀），
由三角形重心的性质知

BF

＝2

FQ

，又B（0，4），
∴（2．-4）=2（x₀-2，y₀），
故得x₀=3，y₀=-2，
求得Q的坐标为（3，-2）；                               …（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，
且(x21)/(20)+(y21)/(16)＝1，(x22)/(20)+(y22)/(16)＝1，…（11分）
以上两式相减得((x1+x2)(x1−x2))/(20)+((y1+y2)(y1−y2))/(16)＝0，
∴kMN＝(y1−y2)/(x1−x2)＝−(4)/(5)•(x1+x2)/(y1+y2)＝−(4)/(5)•(6)/(−4)＝(6)/(5)，
故直线MN的方程为y+2＝(6)/(5)(x−3)，即6x-5y-28=0．   …（13分）