证明：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上任一点M与椭圆上关于中心对称的两点A,B连线的斜率之积Kma*Kmb=-b^2/a^2

Question

证明：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上任一点M与椭圆上关于中心对称的两点A,B连线的斜率之积Kma*Kmb=-b^2/a^2

Answer 1

设M(x,y),A(x1,y1),B(-x1,-y1)
kMA=(y-y1)/(x-x1) kMB=(y+y1)/(x+x1)
kMA*kMB=(y²-y1²)/(x²-x1²)=[b²(1-x²/a²)-b²(1-x1²/a²)]/(x²-x1²)=[-b²/a²*(x²-x1²)]/(x²-x1²)=-b²/a²