如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2分之根号3且经过点M(4,1).直线l:y=x+m叫椭圆与A,B两不同的点..1.求椭圆的方程2.求m的取值范围3.若有直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成一个

Question

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2分之根号3且经过点M(4,1).直线l:y=x+m叫椭圆与A,B两不同的点..
1.求椭圆的方程
2.求m的取值范围
3.若有直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.

Answer 1

（1）设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1,因为 e=32,所以a2=4b2,又椭圆过点M（4,1）,所以 16a2+1b2=1,解得b2=5,a2=20,故椭圆方程为 x220+y25=1（5分）
（2） 将y=x+m代入 x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,△=（8m）2-20（4m2-20）＞0得：5＞m＞-5．
(3)设直线MA,MB斜率分别为k1和k2,只要证k1+k2=0,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则 x1+x2=-8m5,x1x2=4m-205
k1+k2=y1-1x1-4+y2-1x2-4=(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)(x1-4)(x2-4)
分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
2(4m2-20)5-8m(m-5)5-8(m-1)=0
因此MA,MB与x轴所围的三角形为等腰三角形
加分吧!别忘了,打字很累诶