（2014•梅州一模）如图所示，椭圆C：x2+y2m=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P的坐标为（95，435），求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在

Question

（2014•梅州一模）如图所示，椭圆C：x²+(y2)/(m)=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（Ⅰ）若点P的坐标为（(9)/(5)，(4√(3))/(5)），求m的值；
（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，

因为A（-1，0），P((9)/(5)，(4√(3))/(5))，
所以 点M的坐标为((2)/(5)，(2√(3))/(5))．
由于点M在椭圆C上，
所以 (4)/(25)+(12)/(25m)＝1，解得 m＝(4)/(7)．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），则 

x

2 0

+(y20)/(m)＝1，①
因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x₀+1，2y₀）．
因为 OP⊥OM，所以

OP

⊥

OM

，
所以

OP

•

OM

＝0，即 x0(2x0+1)+2y02＝0．②
由 ①，②消去y₀，整理得 m＝(2x20+x0)/(2x20−2)．
所以 m＝1+(1)/(2(x0+2)+(6)/(x0+2)−8)≤(1)/(2)−(√(3))/(4)，
当且仅当 x0＝−2+√(3)时，上式等号成立．
所以m的取值范围是(0，(1)/(2)−(√(3))/(4)]．