已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点与点O重合并将三角板绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角板的直角边与边AC、BC的交点．（1）如图①，当点M

Question

已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点与点O重合并将三角板绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角板的直角边与边AC、BC的交点．

（1）如图①，当点M与点A重合时，求BN的长．
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），
①猜想图②中AM²、CM²、CN²、BN²之间满足的数量关系式，并说明理由．
②若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你直接写出此时BN的长．

Answer 1

（1）连接AN，如图①，
∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=√(102−62)=8，
在△OAN和△OBN中，

OA＝OB

∠BON＝∠AON

ON＝ON

，
∴△OAN≌△OBN（SAS），
∴NB=AN，
设BN=x，则CN=8-x，
∵AC²+CN²=AN²，
∴═(25)/(4)；
（2）①AM²+BN²=CN²+CM²，
证明：延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，
在△EOA和△NOB中，

OB＝OA

∠NOB＝∠EOA

ON＝OE

，
∴△EOA≌△NOB（SAS），
∴AE=BN，∠EAO=∠B，
∴AE∥BC，
∴∠EAC=90°
由垂直平分线性质可得：MN=EM，
∵AE²+AM²=EM²，CN²+CM²=MN²，
∴AM²+BN²=CN²+CM²．
②∵①中已经证明：AM²+BN²=CN²+CM²，
设CM=CN=x，则BN=8-x，AM=6-x，
代入上式得：x=(25)/(7)，
∴BN＝(31)/(7)．