直线Y＝KX+1与曲线X^2+Y^2+KX-Y-4＝0的两个交点关于Y＝X对称.求K.

Question

直线Y＝KX+1与曲线X^2+Y^2+KX-Y-4＝0的两个交点关于Y＝X对称.求K.

Answer 1

设：交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),因点A、B在曲线x²＋y²＋kx＋y－4=0上,则：
(x1)²＋(y1)²＋k(x1)－(y1)－4=0
(x2)²＋(y2)²＋k(x2)－(y2)－4=0
两式相减,得：
[(x1)²－(x2)²]＋[(y1)²－(y2)²]＋k(x1－x2)－(y1－y2)=0
[(y1－y2)(y1＋y2－1)]/[(x1－x2)(x1＋x2＋k)]=－1
因：AB斜率是[y1－y2]/[x1－x2]=－1,则：
(x1＋x2＋k)－(y1＋y2－1)=0 ------------------------------------------(1)
又：AB中点是((x1＋x2)/2,(y1＋y2)/2)在直线y=x上,则：
(y1＋y2)/2=(x1＋x2)/2 ====>>> y1＋y2=x1＋x2 ------------------(2)
(2)式代入(1)式,得：k=－1