如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴轴的垂线，交函数y＝1x的图象于点A，交函数y＝4x的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y＝1x于点c，边接AC．（1）当点P的坐标为（1，0）时，求

Question

如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴轴的垂线，交函数y＝(1)/(x)的图象于点A，交函数y＝(4)/(x)的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交y＝(1)/(x)于点c，边接AC．
（1）当点P的坐标为（1，0）时，求△ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（1，0）时，在y轴上是否存在一点Q，使A、O、Q三点为顶点的三角形△QAO为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）请你连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

Answer 1

（1）当当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，
∵点A在反比例函数y=(1)/(x)上，点B在反比例函数y=(4)/(x)上，
∴点A（1，1），点B（1，4），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为4，
又∵点C在y=(1)/(x)上，
∴点C的坐标为（(1)/(4)，4），
∴AB=3，BC=(3)/(4)，
∴S_△ABC=(1)/(2)×BC×AB=(9)/(8)；
（2）如图①所示：OA=√(12+12)=√(2)，
①若OA=OP，点P位于P₁或P₂位置，此时P₁（0，-√(2)），P₂（0，√(2)）；


②若AP=AO，点P位于P₃位置，此时P₃（0，2）；
③若PO=PA，点P位于P4位置，此时P₄（0，1）；
（3）过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，如图②所示：

∵点P的坐标为（t，0），
∴点A的坐标为（t，(1)/(t)），点B（t，(4)/(t)），点C（(t)/(4)，(4)/(t)），
∴S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF=1+

作业帮用户 2017-11-14

问题解析

（1）当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，分别代入解析式，求出A、B的坐标，由点B的坐标可得点C的纵坐标，代入y=

(1)/(x)，可得点C的坐标，表示出BC、AB的长度后，即可得出△ABC的面积．
（2）先求出OA的长度，然后分情况讨论，①OA=OP，②AP=AO，③PO=PA，分别得出点Q的坐标即可．
（3）根据题意可得点A的坐标为（t，(1)/(t)），点B（t，(4)/(t)），点C（(t)/(4)，(4)/(t)），过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，根据S_△OAC=S_矩形CDOE+S_梯形AFEC-S_△OCD-S_△OAF，表示出示出△OAC的面积，即可得出答案．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题．

考点点评：

本题考查了反比例函数的综合，涉及了反比例函数的k的几何意义，梯形的面积及等腰三角形的判定，解答本题的关键是分类讨论思想及数形结合思想的综合运用，难度较大．

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