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(2013•南京二模)如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中O为扇形所在圆的圆心,∠AOB=60°,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在AB上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行
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(2013•南京二模)如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中O为扇形所在圆的圆心,∠AOB=60°,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在
上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE,问C应选在何处,才能使得修建的道路CD与CE的总长最大,并说明理由.
AB |
▼优质解答
答案和解析
根据题意,四边形ODCE是平行四边形
因为∠AOB=60°,所以∠ODC=180°-∠AOB=120°
连接OC,设OC=r,OD=x,OE=y
在△OCD中,根据余弦定理得OC2=OD+2DC2-2OD•DCcos120°
即r2=x2+y2+xy
∴(x+y)2=r2+xy≤r2+(
)2.
解之得(x+y)2≤
r2,可得x+y≤
r,当且仅当x=y=
r时,等号成立
∴x+y的最大值为
r,此时C为弧AB的中点
答:当点C取在弧AB的中点时,可使修建的道路CD与CE的总长最大.
因为∠AOB=60°,所以∠ODC=180°-∠AOB=120°
连接OC,设OC=r,OD=x,OE=y
在△OCD中,根据余弦定理得OC2=OD+2DC2-2OD•DCcos120°
即r2=x2+y2+xy
∴(x+y)2=r2+xy≤r2+(
x+y |
2 |
解之得(x+y)2≤
4 |
3 |
2
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3 |
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3 |
∴x+y的最大值为
2
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3 |
答:当点C取在弧AB的中点时,可使修建的道路CD与CE的总长最大.
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