（2014•池州二模）已知正四面体ABCD的棱长为4，设正四面体内切球半径为r，外接球半径为R，MN是内切球的一条直径，P在正四面体表面上运动．下列命题正确的是（写出所有正确命题的

Question

（2014•池州二模）已知正四面体ABCD的棱长为4，设正四面体内切球半径为r，外接球半径为R，MN是内切球的一条直径，P在正四面体表面上运动．下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
①AB⊥CD
②从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为(4)/(15)
③R=3r
④r=(√(6))/(3)   
⑤

PM

•

PN

的最大值为(16)/(3)．

Answer 1

对于①，正四面体的对角线互相垂直，所以①正确；
对于②，从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为：(3)/(C26)=(1)/(5)，所以②不正确；
对于③，设正四面体S-ABCD如图所示
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH：HD=2：1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴(OA)/(OH)=(DS)/(DH)=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得内切球的半径OH=(1)/(4)SH，
③正确；
对于④，由③，可得内切球的半径OH=(1)/(4)SH
∵正四面体棱长为4，
∴Rt△SHD中，SD=2√(3)，HD=(1)/(3)SD=(2√(3))/(3)
可得SH=√(SD2−HD2)=(4√(6))/(3)，得内切球的半径r=OH=(1)/(4)×

4

作业帮用户 2017-10-31

问题解析

①利用正四面体的性质判断正误即可；
②利用古典概型求出结果判断正误即可；
③设所求正四面体为S-ABCD，可得它的内切球的球心0在高线SH上，延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO．利用正三角形的性质及三角形相似，算出内切球的半径OH=(1)/(4)SH．判断正误即可；
④利用③的方法求出内切球的半径，判断正误即可；
⑤利用“当点P，M，N三点共线时，取得最大值”，可知当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，求出即可．

名师点评

本题考点：

命题的真假判断与应用．

考点点评：

本题考查正四面体的内切球与外接球的知识的应用，考查直线与直线的位置关系，古典概型以及内切球与外接球的半径的求法，以及充分理解数量积得性质“当点P，M，N三点共线时，

PM

•

PN

取得最大值”是解题的关键．

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