已知空间4个球，它们的半径分别为2，2，3，3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为611611．

Question

已知空间4个球，它们的半径分别为2，2，3，3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为

(6)/(11)

(6)/(11)

．

Answer 1

设半径分别为3、3、2、2的四个球的球心分别为A、B、C、D，与这4个球都外切的小球球心为O，半径为r，
如图，连接AB、BC、CD、DA、AC、BD，得到四棱锥D-ABCD，
可得AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5，
连接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中点F、G，连接OF、OG，
在等腰△ABC中，AC=BC=5，AF=BF=3，
所以CF=4，同理可得DF=4；
由此可得△CDF中，DF=CF，结合CG=DG，
连接FG，得FG是等腰△CDF底边中线，所以FG⊥CD
同理可得FG⊥AB，因此FG是异面直线AB、CD的公垂线段，
在Rt△AOF中，AF=3，OA=3+r，可得OF=√((r+3)2−9)，同理，OG=√((r+2)2−4)，
在Rt△CFG中，FG=√(CF2−CG2)＝2√(3)，
所以OF+OG=FG，
即√((r+3)2−9)+√((r+2)2−4)=2√(3)，
解之得r=(6)/(11)或r=-6（