椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆与P、Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是．

Question

椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过椭圆的右焦点F₂作一条直线l交椭圆与P、Q两点，则△F₁PQ内切圆面积的最大值是________．

Answer 1

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．
设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=-，y₁y₂=-，
于是S_△F1PQ=|F₁F₂|•|y₁-y₂|==12．
∵═≤，
∴S_△F1PQ≤3
所以内切圆半径r=≤，
因此其面积最大值是．
故答案为：．