过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD最小面积,答案是8\3,我要参数方程的解答过程

Question

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D,则四边形ABCD最小面积,答案是8\3,我要参数方程的解答过程

Answer 1

直接求一半的四边形面积就行了,是S=OA×OD,也就是4/3
设其中一条为y=kx(k>0)（垂直的情况另外算下就行）,另一个就是y=-1/k×x
分别与椭圆联立求出交点（√[1/(1/2+k²)],k√[1/(1/2+k²)]）、（√[1/(1/2+1/k²)],-1/k×√[1/(1/2+1/k²)]）
然后就是两个距离相乘,这时候要求最小值,也就是求平方的最小值（为了去根号）看上去很恐怖,但是你化简下令t=k+1/k代入,
就得到S²=t²/(1/4+1/2×t²)=1/(1/4t²+1/2),单调函数,最小值在t最小取到,也就是t=k+1/k≥2
k=1,t=2,S²=16/9,S=4/3,所以四边形面积是8/3