已知两圆O1，O2内切，圆O1的半径为1，圆O2的半径为3，动圆M与圆01外切于点Q，且与圆O2内切于点P．（1）建立适当的直角坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程（2）求过点（0，3），倾斜角为π4的直

Question

已知两圆O₁，O₂内切，圆O₁的半径为1，圆O₂的半径为3，动圆M与圆0₁外切于点Q，且与圆O₂内切于点P．
（1）建立适当的直角坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程
（2）求过点（0，√(3)），倾斜角为(π)/(4)的直线被（1）中轨迹所截得的线段长度．

Answer 1

（1）设两个定圆O₁（-1，0），O₂（1，0），建立坐标系，
设动圆圆心为M（x，y），半径为R，
动圆M与圆O₁外切，又与圆O₂内切，满足|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R
所以|MO₂|+|MO₁|=4（常数）>|O₁O₂|
故M点的轨迹为以O₁，O₂为焦点的椭圆，且a=2，c=1，
所以椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1(x≠±2)．
（2）过点（0，√(3)），倾斜角为(π)/(4)的直线方程为y=x+√(3)，
代入椭圆的方程可得7x²+8√(3)x=0，
所以x=0或x=-(8√(3))/(7)，
所以直线被（1）中轨迹所截得的线段长度为√(2)•(8√(3))/(7)=(8√(6))/(7)．