动圆G与圆Q1：X2+Y2+2X=0外切,同时与圆O2：X2+Y2-2X-8=0内切,设动圆圆心G的轨迹为E.（1）求直线E的方程；（2）直线X=t(t＞0)与曲线E相交于不同的两点M,N以MN为直径作圆C,若圆C与Y轴相交于两点,P,Q,求

Question

动圆G与圆Q1：X2+Y2+2X=0外切,同时与圆O2：X2+Y2-2X-8=0内切,设动圆圆心G的轨迹为E.（1）求直线E的方程；（2）直线X=t(t＞0)与曲线E相交于不同的两点M,N以MN为直径作圆C,若圆C与Y轴相交于两点,P,Q,求△PQC面积的最大值（3）已知A1(-2,0)A2（2,0）,直线L：y=kx+m与曲线E相交于A,B两点（A,B均不与A1,A2重合）,且以AB为直径的圆过点A2,求证：直线l过定点,并写出该点坐标.

Answer 1

(1)
Q1:(x+1)^2+y^2=1,圆心为(-1,0),半径为1
Q2:(x-1)^2+y^2=9,圆心为(1,0),半径为3
假设G的圆心为E(x,y),则|EQ1|-1=r=3-|EQ2|
所以根号[(x+1)^2+y^2] + 根号[(x-1)^2+y^2]=4
两边同时乘以根号[(x+1)^2+y^2] - 根号[(x-1)^2+y^2],
得到根号[(x+1)^2+y^2] - 根号[(x-1)^2+y^2]=x
两式相加得到,3x^2+4y^2=12 即 x^2/4+y^2/3=1,（椭圆）
(2)
假设M,N坐标为(t,y0),(t,-y0)
于是圆C为(x-t)^2+y^2=y0^2
于是面积S=根号(y0^2-t^2) * t=(2/根号7)*根号[(y0^2-t^2)*7t^2/4]
因为(t,y0)在椭圆上,即有,t^2/4+y0^2/3=1,所以y0^2-t^2+7t^2/4=y0^2+3t^2/4=3
使用基本不等式,得到根号ab