已知动圆P与圆E：(x+3)2+y2=25相切，且与圆F：(x-3)2+y2=1都内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）直线l与曲线C交于点A，B，点M为线段AB的中点，若|OM|=1，求△AOB面积的最大值

Question

已知动圆P与圆E：(x+√(3))2+y2=25相切，且与圆F：(x-√(3))2+y2=1都内切，记圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l与曲线C交于点A，B，点M为线段AB的中点，若|OM|=1，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

（1）设动圆P的半径为r，由已知|PE|=r+5，|PF|=1-r，
则有|PE|+|PF|=6>2√(3)，
∴P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=3，c=√(3)，b=√(6)
∴曲线C的方程为(x2)/(9)+(y2)/(6)=1；
（2）设直线l：x=my+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程，整理得：（3+2m²）y²+4mny+2n²-18=0①
y₁+y₂=-(4mn)/(3+2m2)，y₁•y₂=(2n2-18)/(3+2m2)，x₁+x₂=(6n)/(3+2m2)，
由中点坐标公式可知：M（(3n)/(3+2m2)，-(2mn)/(3+2m2)）
∵|OM|=1，
∴n²=((3+2m2)2)/(9+4m2)②，…（8分）
设直线l与x轴的交点为D（n，0），
则△AOB面积S²=(1)/(4)n²（y₁-y₂）²=(12(2m2+3)(12+5m2))/((9+4m2)2)
设t=4m²+9（t≥9），
则S²=-(3)/(2)[9((1)/(t)+(2)/(3))2+1]，当t=9时，即m=0时，
△AOB的面积取得最大值(16)/(3)…（12分）