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(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交

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(本小题满分12分)已知圆M:(x+1) 2 +y 2 =1,圆N:(x-1) 2 +y 2 =9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
▼优质解答
答案和解析
依题意,圆M的圆心,圆N的圆心 ,故 ,由椭圆定理可知,曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆(左顶点除外),其方程为
(2)对于曲线C上任意一点 ,由于 (R为圆P的半径),所以R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为
若直线l垂直于x轴,易得
若直线l不垂直于x轴,设l与x轴的交点为Q,则 ,解得 ,故直线l: ;有l与圆M相切得 ,解得 ;当 时,直线 ,联立直线与椭圆的方程解得 ;同理,当 时, .

(1)根据椭圆的定义求出方程;(2)先确定当圆P的半径最长时,其方程为 ,再对直线l进行分类讨论求弦长.
本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程,考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.
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