如图，∠AOB=30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆Cn的半径分别是r1、r2、r3…、rn，则r2013r2012=．

Question

如图，∠AOB=30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃…、半圆C_n的半径分别是r₁、r₂、r₃…、r_n，则(r2013)/(r2012)=___．

Answer 1

作C₁D₁⊥OB于D₁，作C₂D₂⊥OB于D₂，作C₃D₃⊥OB于D₃，如图，
∵n个半圆都与射线OB相切，
∴C₁D₁=r₁，C₂D₂=r₂，C₃D₃=r₃，
∵n个半圆依次外切，
∴C₁C₂=r₁+r₂，C₂C₃=r₂+r₃，
在Rt△OC₁D₁中，∵∠O=30°，
∴OC₂=2C₁D₁=2r₁，
在Rt△OC₂D₂中，∵∠O=30°，
∴OC₂=2C₂D₂，即2r₁+r₁+r₂=2r₂，
∴r₂=3r₁，
在Rt△OC₃D₃中，∵∠O=30°，
∴OC₃=2C₃D₃，即2r₂+r₂+r₃=2r₃，
∴r₃=3r₂，
∴r₂₀₁₃=3r₂₀₁₂，
即(r2013)/(r2012)=3．
故答案为3．