如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD⊥AB于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF．（1）求证：B，C，E，D四点共圆；（2）当AB=12，tan∠EAF＝23时，求圆O的

Question

如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD⊥AB于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF．
（1）求证：B，C，E，D四点共圆；
（2）当AB=12，tan∠EAF＝(2)/(3)时，求圆O的半径．

Answer 1

（1）由切割线定理PA²=PB•PC
由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，∴PA²=PD•PE，
∴PA²=PB•PC=PA²=PD•PE，
又∠BPD为公共角，∴△PBD∽△PEC，
∴∠BDP=∠C
∴B，C，E，D四点共圆              
（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，
∵∠PBD=∠F，∴∠F=∠PEC，
∴PE∥AF．
∵AB=12，∴AG=6．
∵PD⊥AB，∴PD∥OG．
∴PE∥OG∥AF，
∴∠AOG=∠EAF．
在Rt△AOG中，tan∠AOG＝tan∠EAF＝(2)/(3)＝(6)/(OG)，
∴OG＝9∴R＝AO＝√(AG2+OG2)＝3√(13)
∴圆O的半径3√(13)．