如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=43，PB=4，∠AEB=60°．（1）求证：△PDE∽△PCA；（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；（3）求⊙O的面

Question

如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=4√(3)，PB=4，∠AEB=60°．
（1）求证：△PDE∽△PCA；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求⊙O的面积．（答案保留π）

Answer 1

（1）证明：由弦切角定理得∠PEB=∠EAB，
∵PC是∠APE的平分线，
∴∠CPE=∠CPA，
∴△PDE∽△PCA；

（2）由切割线定理得PE²=PA•PB，
∵PE=4√(3)，PB=4，
∴PA=12，
∴PA+PB=16，PA•PB=48，
∴所求方程为：x²-16x+48=0；

（3）连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，
则BF是⊙O的直径，
∴∠BAF=90°，
∴∠AEB=∠F=60°
在Rt△ABF中，sin60°=(AF)/(BF)=(PA−PB)/(BF)=(12−4)/(BF)=(8)/(BF)=(√(3))/(2)，
∴BF=(16√(3))/(3)．
∴⊙O的面积为：π（(BF)/(2)）²=π((1)/(2)×(16√(3))/(3))2=(64π)/(3)（面积单位）．