如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC<BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作O交BC于点E，连接CD、DE．（1）求证：DF为O的切线；（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．

Question

如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC<BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作 O交BC于点E，连接CD、DE．

（1）求证：DF为 O的切线；
（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：连接DO并延长交AC于M，如图1所示：
∵∠ACB=90°，AC∴CD=(1)/(2)AB=AD，
∴

AD

=

CD

，
∴DM⊥AC，
∴DM∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥DO，
∴DF为 O的切线；
（2） 由（1）得：AC∥DF，
∵点D为AB的中点，
∴DF=(1)/(2)AC=1.5，CF=BF=(1)/(2)BC=4.5，
作ON⊥CE于N，连接OA，如图2所示：
则CN=EN=(1)/(2)CE，AM=CM=ON=DF=1.5，
设 O的半径为r，
在△AOM中，由勾股定理得：r²+（4.5-r）²=r²，
解得：r=2.5，
∴CN=EN=OM=4.5-2.5=2，
∴CE=4，
∴EF=4.5-4=0.5，
∴DE=√(EF2+DF2)=√(0．52+1．52)=(√(10))/(2)．