曲线f（x）=ax2（a>0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（）A.（0，1e）B.（0，12e）C.（1e，+∞）D.（12e，+∞）

Question

曲线f（x）=ax²（a>0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（　　）

A. （0，

(1)/(e)）

B. （0，

(1)/(2e)）

C. （

(1)/(e)，+∞）

D. （

(1)/(2e)，+∞）

Answer 1

y=ax²的导数y′=2ax，y=lnx的导数为y′=(1)/(x)，
设与y=ax²相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m>0，则有公共切线斜率为2as=(1)/(m)=(t-n)/(s-m)，
又t=as²，n=lnm，
即有2as=(1)/(m)=(as2-lnm)/(s-m)，整理得as²-ln（2as）-1=0
设f（s）=as²-ln（2as）-1，所以f'（s）=2as-(2a)/(2as)=(2as2-1)/(s)，因为a>0，s>0，
所以由f'（s）>0得到
当s>(1)/(√(2a))时，f′（s）>0，f（s）单调递增，
当0<s<(1)/(√(2a))时，f′（s）<0，f（s）单调递减．
即有s=(1)/(√(2a))处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（(1)/(√(2a))）=-ln√(2a)-(1)/(2)，
由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞，
所以只要f（(1)/(√(2a))）<0可得a的范围是a>(1)/(2e)．
故选D．