怎么求点到圆的切点弦方程

Question

怎么求点到圆的切点弦方程

Answer 1

简单的说,是因为当(x0,y0)从圆外运动到圆上时,切点弦就变成了切线.所以这两个方程有一样的形式.
更具体一点,设过圆上一点(a,b)的切线方程是f(a,b,x,y)=0,其中f是关于x,y的线性方程.
f是将圆方程中x^2换成ax,y^2换成ay,x换成(x+a)/2,y换成(y+b)/2得到的,所以f关于a,b也是线性的,比如对于圆x^2+y^2=r^2,它的切线方程就是ax+by=r^2,其中a,b,x,y的幂指数都是1.
假设关于圆外一点(x0,y0)的切点弦的两个切点分别是(a1,b1)和(a2,b2),那么两条切线是
f(a1,b1,x,y)=0
f(a2,b2,x,y)=0
因为(x0,y0)在这两条切线上,所以它满足两个方程：
f(a1,b1,x0,y0)=0
f(a2,b2,x0,y0)=0
现在考察方程f(x,y,x0,y0)=0,由上面关于f的形式的讨论可知这是个一次方程.而上面两个式子表明(a1,b1)和(a2,b2)都满足这个方程,所以这个方程就是通过(a1,b1)和(a2,b2)的直线方程.
这就说明,如果过(a,b)的切线方程是f(a,b,x,y)=0,
那么关于(x0,y0)的切点弦方程就是 f(x,y,x0,y0)=0
他们具有同一个形式f.