图1和图2中,优弧所在⊙O的半径为2,AB=2.点P为优弧上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.(1)点O到弦AB
图 1 和图 2 中,优弧 所在 ⊙ O 的半径为 2 , AB=2
.点 P 为优弧
上一点(点 P 不与 A , B 重合),将图形沿 BP 折叠,得到点 A 的对称点 A ′ .
( 1 )点 O 到弦 AB 的距离是 1 ,当 BP 经过点 O 时, ∠ ABA ′ = 60 ° ;
( 2 )当 BA ′ 与 ⊙ O 相切时,如图 2 ,求折痕的长:
( 3 )若线段 BA ′ 与优弧 只有一个公共点 B ,设 ∠ ABP= α .确定 α 的取值范围.
( 1 ) ① 过点 O 作 OH ⊥ AB ,垂足为 H ,连接 OB ,如图 1 ① 所示.
∵ OH ⊥ AB , AB=2 ,
∴ AH=BH= .
∵ OB=2 ,
∴ OH=1 .
∴ 点 O 到 AB 的距离为 1 .
② 当 BP 经过点 O 时,如图 1 ② 所示.
∵ OH=1 , OB=2 , OH ⊥ AB ,
∴ sin ∠ OBH= =
.
∴∠ OBH=30 ° .
由折叠可得: ∠ A ′ BP= ∠ ABP=30 ° .
∴∠ ABA ′ =60 ° .
故答案为: 1 、 60 .
( 2 )过点 O 作 OG ⊥ BP ,垂足为 G ,如图 2 所示.
∵ BA ′ 与 ⊙ O 相切,
∴ OB ⊥ A ′ B .
∴∠ OBA ′ =90 ° .
∵∠ OBH=30 ° ,
∴∠ ABA ′ =120 ° .
∴∠ A ′ BP= ∠ ABP=60 ° .
∴∠ OBP=30 ° .
∴ OG= OB=1 .
∴ BG= .
∵ OG ⊥ BP ,
∴ BG=PG= .
∴ BP=2 .
∴ 折痕的长为 2 .
( 3 )若线段 BA ′ 与优弧 只有一个公共点 B ,
Ⅰ .当点 A ′ 在 ⊙ O 的内部时,此时 α 的范围是 0 ° < α < 30 ° .
Ⅱ .当点 A ′ 在 ⊙ O 的外部时,此时 α 的范围是 60 °≤α < 120 ° .
综上所述:线段 BA ′ 与优弧 只有一个公共点 B 时, α 的取值范围是 0 ° < α < 30 ° 或 60 °≤α < 120 ° .
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