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等腰Rt△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,⊙O不动,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?

题目详情
等腰Rt△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.
(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,⊙O不动,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?
(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?
(3)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.△ABC的边与圆第一次相切时,点B运动了多少距离?
▼优质解答
答案和解析
(1)假设第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,
A′C′与⊙O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.
设⊙O与直线l切于点D,连OD,则OE⊥A′C′,OD⊥直线l.由切线长定理可知C′E=C′D;
设C′D=x,则C′E=x,易知C′F=
2
x,
2
x+x=1,则x=
2
-1,
∴CC′=BD-C′D-C′F=5-1-(
2
-1)=5-
2

∴点C运动的时间为
5−
2
2


(2)设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切,
设经过t秒△ABC的边与⊙O第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处,
A′C′与⊙O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.
∵CC′=2t,DD′=t,∴CD′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t.
由切线长定理得C′E=C′D′=4-t;
又∵FC′=
2
C′E=
2
C′D′
而FC′+C′D′=FD′=1
∴(
2
+1)C′D′=(
2
+1)(4-t)=1
解得:t=5-
2

答:经过5-
2
秒△ABC的边与圆第一次相切;

(3)由(2)得CC′=(2+0.5)t=2.5t,DD′=t,
则C′D=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t.
∵FC′=
2
C′E=
2
C′D′,FC′+C′D′=FD′=1,
∴(
2
+1)C′D′=(
2
+1)(4-1.5t)=1
解得:t=
10−2
2
3

∴点B运动的距离为2×
10−2
2
3
=
20−4
2
3
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