等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

Question

等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？

Answer 1

（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，
A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．由切线长定理可知C′E=C′D；
设C′D=x，则C′E=x，易知C′F=√(2)x，
∴√(2)x+x=1，则x=√(2)-1，
∴CC′=BD-C′D-C′F=5-1-（√(2)-1）=5-√(2)；
∴点C运动的时间为(5−√(2))/(2)；

（2）设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，
设经过t秒△ABC的边与⊙O第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处，
A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
∵CC′=2t，DD′=t，∴CD′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t．
由切线长定理得C′E=C′D′=4-t；
又∵FC′=√(2) C′E=√(2)C′D′
而FC′+C′D′=FD′=1
∴（√(2)+1）C′D′=（ √(2)+1）（4-t）=1
解得：t=5-√(2)
答：经过5-√(2)秒△ABC的边与圆第一次相切；

（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，
则C′D=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t．
∵FC′=√(2)C′E=√(2)C′D′，FC′+C′D′=FD′=1，
∴（√(2)+1）C′D′=（√(2)+1）（4-1.5t）=1
解得：t=(10−2√(2))/(3)，
∴点B运动的距离为2×(10−2√(2))/(3)=(20−4√(2))/(3)．