过点O（0，0）的圆C与直线y=2x-8相切于点P（4，0）．（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值．（3）在圆C上是否存在

Question

过点O（0，0）的圆C与直线y=2x-8相切于点P（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值．
（3）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y=kx-1对称，且以MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由已知得圆心经过点P（4，0），且与y=2x-8垂直的直线y＝−(1)/(2)x+2上，
它又在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C（2，1），半径为√(5)，
所以圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）求得点B（0，2）关于直线l：x+y+2=0的对称点G（-4，-2），
所以|PB|+|PQ|=|PG|+PQ|≥|QG|≥|GC|-√(5)=2√(5)，
所以|PB|+|PQ|的最小值是2√(5)．
（3）假设存在两点M，N关于直线y=kx-1对称，则y=kx-1通过圆心C（2，1），求得k=1，
所以设直线MN为y=-x+b，代入圆的方程得2x²-（2b+2）x+b²-2b=0，
设M（x₁，-x₁+b），N（x₂，-x₂+b），则 x₁+x₂=b+1，x₁•x₂=-b．
又

OM

•

ON

=2 x₁•x₂-b（x₁+x₂）=b²-3b=0，
解得b=0或b=3，这时△＞0，符合条件，
所以，存在直线MN为y=-x或y=-x+3符合条件．…