若OA，OB，OC是空间不共面的线段，且满足OA=OB=OC=1，二面角B-OA-C，C-OB-A，A-OC-B的大小分别为α，β，γ，以O为球心，半径为r作球面；给出以下结论，其中正确的有；①若r=1，劣弧BC，CA，AB

Question

若OA，OB，OC是空间不共面的线段，且满足OA=OB=OC=1，二面角B-OA-C，C-OB-A，A-OC-B的大小分别为α，β，γ，以O为球心，半径为r作球面；给出以下结论，其中正确的有______；
①若r=1，劣弧BC，CA，AB的长为a，b，c，则(sina)/(sinα)＝(sinb)/(sinβ)＝(sinc)/(sinγ)；
②若r=1，圆弧AB在点A处的切线l₁与圆弧CA在点A处的切线l₂的夹角为α；
③若α=β=γ=(π)/(2)，球面与以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体的所有表面的交线长度和为f（r），则f（1）=(3)/(2)π；
④若α=β=γ=(π)/(2)，球面与以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体的所有表面的交线长度和为f（r），则f（r）-a=0（a∈R）的零点可能有0个，1个，2个，3个，4个．

Answer 1

①过B点作BH⊥平面OAC，垂足为H，再过H作HN⊥AO，HM⊥CO，
连接BN，BM，则由线面垂直的性质可得BN⊥AO，BM⊥CO，
即有二面角B-OA-C，A-OC-B的平面角为∠BNH=α，∠BMH=γ，
由于r=1，劣弧BC，CA，AB的长为a，b，c，即∠BOC=a，∠AOB=c，
∠AOC=b，sinγ=(BH)/(BM)，sinα=(BH)/(BN)，则(sinα)/(sinγ)=(BM)/(BN)=(OBsina)/(OBsinc)，
∴(sinα)/(sinγ)=(sina)/(sinc)，同理可得，(sinα)/(sinβ)＝(sina)/(sinb)，故(sina)/(sinα)＝(sinb)/(sinβ)＝(sinc)/(sinγ)
故①正确；
②若r=1，由相切和二面角平面角的定义，可得，圆弧AB在点A处的切线l₁与圆弧CA在点A处的切线l₂的夹角为α或π-α；故②错误；
③若α=β=γ=(π)/(2)，则由面面垂直的性质定理，可证得OA，OB，OC两两互相垂直，以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体为正方体，球面与所有表面的交线为三段圆弧AB，BC，CA，长度之和为(3π)/(2)，故③正确；
④若α=β=γ=(π)/(2)，以OA，OB，OC为邻边所确定的平行六面体为正方体，球面与所有表面的交线长度和为f（r），
则f（r）-a=0（a∈R）的零点可能有0个，1个．故④错误．
故答案为：①③．