如图，等腰△ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC分别相切．（1）⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由．（2）若AB=5，BC=4，求⊙O的半径．

Question

如图，等腰△ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC分别相切．

（1）⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由．
（2）若AB=5，BC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）是．
理由是：∵⊙O与AB相切，把切点记作D．
连接OD，则OD⊥AB于D．作OF⊥AC于F，
∵AE是底边BC上的高，
∴AE也是顶角∠BAC的平分线．
∴OF=OD=r为⊙O的半径．
∴⊙O与AC相切于F．
又∵⊙O与BC相切，
∴⊙O是△ABC的内切圆．
（2）∵OE⊥BC于E，
∴点E是切点，即OE=r．
由题意，AB=5，BE=(1)/(2)AB=2，
∴AE=√(52−22)=√(21)．
∵Rt△AOD∽Rt△ABE，
∴(OA)/(AB)＝(OD)/(BE)，
即(√(21)−r)/(5)＝(r)/(2)．
解得，r=(2√(21))/(7)．
∴⊙O的半径是(2√(21))/(7)．