图1和图2中，优弧AB所在O的半径为2，AB=23，点P为优弧AB上一点（点P不与A，B重合），将图形沿B

Question

图1和图2中，优弧

AB

所在 O的半径为2，AB=2 √(3)，点P为优弧

AB

上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

（Ⅰ）点O到弦AB的距离是___，当BP经过点O时，∠ABA′=___；
（Ⅱ）当BA′与 O相切时，如图2，求折痕的长．

Answer 1

（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．
∵OH⊥AB，AB=2√(3)，
∴AH=BH=√(3)．
∵OB=2，
∴OH=1．
∴点O到AB的距离为1．
②当BP经过点O时，如图1②所示．
∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，
∴sin∠OBH=(OH)/(OB)=(1)/(2)．
∴∠OBH=30°．
由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．
∴∠ABA′=60°．
故答案为：1、60．

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．
∵BA′与 O相切，
∴OB⊥A′B．
∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，
∴∠ABA′=120°．
∴∠A′BP=∠ABP=60°．
∴∠OBP=30°．
∴OG=(1)/(2)OB=1．
∴BG=√(3)．
∵OG⊥BP，
∴BG=PG=√(3)．
∴BP=2√(3)．
∴折痕的长为2√(3)．