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如图,正方形ABCD的边长为4cm,点E、F在边AD上运动,且AE=DF.CF交BD于G,BE交AG于H.(1)求证:∠DAG=∠ABE;(2)①求证:点H总在以AB为直径的圆弧上;②画出点H所在的圆弧,并说明这

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如图,正方形ABCD的边长为4cm,点E、F在边AD上运动,且AE=DF.CF交BD于G,BE交AG于H.
作业帮
(1)求证:∠DAG=∠ABE;
(2)①求证:点H总在以AB为直径的圆弧上;
    ②画出点H所在的圆弧,并说明这个圆弧的两个端点字母;
(3)直接写出线段DH长度的最小值.
▼优质解答
答案和解析
作业帮(1)证明:如图1,在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,
在△ABE和△DCF中,
AB=CD
∠BAD=∠CDA=90°
AE=DF

∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
在△ADG和△CDG中,作业帮
AD=CD
∠ADG=∠CDG=45°
DG=DG

∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCF,
∴∠DAG=∠ABE;
(2)①如图1,∵∠DAG=∠ABE,∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°,
∴∠ABE+∠BAH=90°,
∴∠AHB=180°-90°=90°,
∴BE⊥AG,
∴点H总在以AB为直径的圆弧上;
②如图2,以AB的中点O为圆心,OA长为半径画弧,交BD于I(I是BD的中点),弧的两个端点为A和I.作业帮
(3)如图3,取AB的中点O,连接OH、OD,
则OH=AO=
1
2
AB=2cm,
在Rt△AOD中,OD=
OA2+AD2
=
22+42
=2
5

根据三角形的三边关系,OH+DH>OD,
∴当O、D、H三点共线时,DH的长度最小,
DH的最小值=OD-OH=2
5
-2.
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