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如图,正方形ABCD的边长为4cm,点E、F在边AD上运动,且AE=DF.CF交BD于G,BE交AG于H.(1)求证:∠DAG=∠ABE;(2)①求证:点H总在以AB为直径的圆弧上;②画出点H所在的圆弧,并说明这
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如图,正方形ABCD的边长为4cm,点E、F在边AD上运动,且AE=DF.CF交BD于G,BE交AG于H.

(1)求证:∠DAG=∠ABE;
(2)①求证:点H总在以AB为直径的圆弧上;
②画出点H所在的圆弧,并说明这个圆弧的两个端点字母;
(3)直接写出线段DH长度的最小值.

(1)求证:∠DAG=∠ABE;
(2)①求证:点H总在以AB为直径的圆弧上;
②画出点H所在的圆弧,并说明这个圆弧的两个端点字母;
(3)直接写出线段DH长度的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,
在△ABE和△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
在△ADG和△CDG中,
,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCF,
∴∠DAG=∠ABE;
(2)①如图1,∵∠DAG=∠ABE,∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°,
∴∠ABE+∠BAH=90°,
∴∠AHB=180°-90°=90°,
∴BE⊥AG,
∴点H总在以AB为直径的圆弧上;
②如图2,以AB的中点O为圆心,OA长为半径画弧,交BD于I(I是BD的中点),弧的两个端点为A和I.
(3)如图3,取AB的中点O,连接OH、OD,
则OH=AO=
AB=2cm,
在Rt△AOD中,OD=
=
=2
,
根据三角形的三边关系,OH+DH>OD,
∴当O、D、H三点共线时,DH的长度最小,
DH的最小值=OD-OH=2
-2.

在△ABE和△DCF中,
|
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
在△ADG和△CDG中,

|
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCF,
∴∠DAG=∠ABE;
(2)①如图1,∵∠DAG=∠ABE,∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°,
∴∠ABE+∠BAH=90°,
∴∠AHB=180°-90°=90°,
∴BE⊥AG,
∴点H总在以AB为直径的圆弧上;
②如图2,以AB的中点O为圆心,OA长为半径画弧,交BD于I(I是BD的中点),弧的两个端点为A和I.

(3)如图3,取AB的中点O,连接OH、OD,
则OH=AO=
1 |
2 |
在Rt△AOD中,OD=
OA2+AD2 |
22+42 |
5 |
根据三角形的三边关系,OH+DH>OD,
∴当O、D、H三点共线时,DH的长度最小,
DH的最小值=OD-OH=2
5 |
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