已知椭圆C：X2/4+Y2/3=1,设P（4,0）,A、B是椭圆C上关于X轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆于另一点E,证明直线AE与X轴相交于定点Q.求详解,特别是关于E的求解

Question

已知椭圆C：X2/4+Y2/3=1,设P（4,0）,A、B是椭圆C上关于X轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆于另一点E,证明直线AE与X轴相交于定点Q.
求详解,特别是关于E的求解

Answer 1

由题知PB斜率存在,设PB方程为y=k(x-4).与椭圆联立,得(4k^2+3)x^2-32k^2x+64k^2-12=0①.设点B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,-y1).直线AE方程为y-y2=(y2+y1)/(x2-x1)(x-x2).令y=0得x=x2-y2(x2-x1)/(y2+y1).将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入,整理,得x=(2x1x2-4(x1+x2))/(x1+x2-8).②由①得x1+x2=32k^2/(4k^2+3),x1x2=(64k^2-12)/(4k^2+3).代入②整理,得x=1.所以AE与x轴交与定点Q（1,0）