如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。（1）求轨迹C的方程；（2）设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|

Question

如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。

（1）求轨迹C的方程；
（2）设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范围。

Answer 1

（1）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，
由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=  ，
化简可得3x ² -y ² -3=0 而
点（2，±3）在曲线3x ² -y ² -3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x ² -y ² -3=0（x＞1）；
（2）直线y=-2x+m与3x ² -y ² -3=0（x＞1）联立，
消元可得x ² -4mx+m ² +3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x ² -4mx+m ² +3，
∴ ，
∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（x _Q ，y _Q ），（x _R ，y _R ），
∵|PQ|＜|PR|，
x _R =2m+ ，x _Q =2m- ，
∴ = =
∵m＞1，且m≠2
∴ ，且
∴ ，且
∴ 的取值范围是（1，7）∪（7，7+4 ）。