设抛物线C：y^2=2px(p>0)上有动点A、B（A、B不垂直x轴）,F为焦点,AF+BF=8,且线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6,0）,求抛物线C的方程注:答案是y^2=8x

Question

设抛物线C：y^2=2px(p>0)上有动点A、B（A、B不垂直x轴）,F为焦点,AF+BF=8,且线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6,0）,求抛物线C的方程
注:答案是y^2=8x

Answer 1

设A,B的坐标分别是(xa,ya)(xb,yb)
由AF+BF=8知,xa+xb=8-p (因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,所以AF=xa+p/2,BF=xb+p/2)
解此题最重要一点就是用AB连线的中垂线恒过定点Q,设AB中点是M
则QM连线与AB连线垂直,可应用斜率之积等于-1来列式
则有((ya-yb)/(xa-xb))*((ym-0)/(xm-6))=-1
其中ym=(ya+yb)/2
xm(xa+xb)/2=(8-p)/2 (用上面解得的xa+xb=8-p)
求解过程中将代入ya^2=2pxa,yb2=2pxb
最后解得
y^2=8x