一道解析几何体设F是抛物线Gy²=2px(p>0)的焦点,过F且与G的对称轴垂直的直线被抛物线G截得的线段长为4（1）求抛物线G的方程（2）设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足FA⊥FB,延长AF、BF

Question

一道解析几何体
设F是抛物线Gy²=2px(p>0)的焦点,
过F且与G的对称轴垂直的直线被抛物线G截得的线段长为4
（1）求抛物线G的方程
（2）设A、B为抛物线G上异于原点的两点,
且满足FA⊥FB,
延长AF、BF分别交抛物线G于点C、D,
求四边形ABCD面积的最小值
——————分界线——————
那个,我刚学圆锥曲线,方法不太熟
只知道直线与抛物线方程联立用韦达定理求解,
可是四边形面积应该怎么求?
三角形不是由坐标轴分成两块分别求解再相加,那四边形呢
另外,我第一问会求,
第二问希望有详细的过程,并附有从哪里入手的思路分析
当然,能有总结最好!
我会很感激您的

Answer 1

y^2=4x p=2 FA⊥FB 所以AC⊥BD 所以四边形的面积就是(1/2)*AC*BD
设AC：x=my+1 （因为过F(1,0)）和抛物线连立,二次方程 y^2-4my-4=0
AC^2=(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 x1-x2=m(y1-y2) 所以AC^2= (m^2+1)(y1-y2)^2
(y1-y2)^2= (y1+y2)^2-4y1y2=4m^2+16
所以BD^2=4/(m^2)+16 (因为BD和AC斜率相乘是-1) 所以只需求(m^2+1)(4m^2+16)(1/m^2)(4/m^2+16)=
16(m^2+1)(m^2+4)(1/m^2)(1/m^2+4)的最小值
将(m^2+1)(1/m^2+1) 分一组 (m^2+4)(1/m^2+4) 分一组,用柯西不等式,有m=1时取最小