已知直线L1‖L2,点A是L1,L2之间的一个定点,并且A点到L1,L2的距离分别为3,2,B是直线L2上一动点,做AC⊥AB,且使AC与直线L1交于点C,则△ABC面积的最小值为多少

Question

已知直线L1‖L2,点A是L1,L2之间的一个定点,并且A点到L1,L2的距离分别为3,2,B是直线L2上一动点,做AC⊥AB,且使AC与直线L1交于点C,则△ABC面积的最小值为多少

Answer 1

过点A分别向L1、L2做垂线,垂足分别为E、F,则由题意知道AE=3,AF=2,且AEF是一条直线.在L2上任取一点B,连接AB,做AC⊥AB,且使AC与直线L1交于点C,连接BC.
设BF=x,CE=y,从而有
AB^2=4+x^2,AC^2=9+y^2,BC^2=25+(x-y)^2
△ABC是直角三角形,所以AB^2+ AC^2=BC^2,即
4+x^2+9+y^2=25+(x-y)^2
化简得xy=6
△ABC的面积=梯形BCEF的面积-△ABF的面积-△ACE的面积
=1/2*5*（x+y）-1/2*2*x-1/2*3*y
=3/2*x+y>=2√(3/2xy)=2*√(3/2*6)=6
所以△ABC的面积最小值为6.
当且仅当3/2x=y即x=2,y=3时取到最小值.