如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中点O，底面ABC是正三角形，其重心为G点，D是BC中点，B1D交BC1于E．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）若AA1=AB，求直线BC1与底面ABC

Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在底面ABC上的射影恰好是AB的中点O，底面ABC是正三角形，其重心为G点，D是BC中点，B₁D交BC₁于E．

（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）若AA₁=AB，求直线BC₁与底面ABC所成角．

Answer 1

（1）证明：∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
点A₁在底面ABC上的射影恰好是AB的中点O，
底面ABC是正三角形，其重心为G点，D是BC中点，B₁D交BC₁于E，
∴(DE)/(EB1)=(BD)/(B1C1)=(1)/(2)，
连结AB₁，则(DE)/(EB1)＝(DG)/(GA)＝(1)/(2)，
∴GE∥AB₁，
∵GE不包含于侧面AA₁B₁B，AB₁⊂侧面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B．
（2）令AA₁=AB=2，A₁在底面ABC上的射影为AB中心O，
连OD延长到H，使OD=DH，连C₁H，BH，
则由A₁C₁

∥

.

OH，得A₁O

∥

.

C₁H，
∠C₁BH是直线BC₁与底面ABC所成角
∴C1H＝√(3)，BH=OC=√(3)，
∴tan∠C₁HB=1，∴∠C1BH＝(π)/(4)，
∴直线BC₁与底面ABC所成角为(π)/(4)．