设已知A、B为抛物线y2=2px（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，给出下列命题：（1）y轴上存在一点K，使得KA•KF=0；（2）CF•DF=0；（3）存在实数λ使得AD＝λAO；（

Question

设已知A、B为抛物线y²=2px（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，给出下列命题：
（1）y轴上存在一点K，使得

KA

•

KF

=0；
（2）

CF

•

DF

=0；
（3）存在实数λ使得 

AD

＝λ

AO

；
（4）若线段AB中点P在准线上的射影为T，有

FT

•

AB

=0．
其中真命题的个数为（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

（1）取AB⊥x轴，则A（(p)/(2)，p），F（(p)/(2)，0），
设K（0，a），则由（(p)/(2)，p-a）•（(p)/(2)，-a）=0，可得(p2)/(4)−pa+a2=0，∴a=(p)/(2)，即（1）正确；
（2，）由抛物线定义，知FA=CA，FB=DB，则∠ACF=∠AFC，∠BDF=∠BFD，则∠CFD=180°-∠AFC-∠BFD=180°-（360°-∠FAC-∠FBD）=90°，∴

CF

•

DF

=0，正确；
（3）由（2），知△CXF与△FXD相似，即CX•DX=XF²=p²，
知AH=(CX2)/(2p)，OX=(p)/(2)，得(AH)/(HO)＝(OX)/(XD)，∴A、O、D共线，即（3）正确；
（4）设直线AB的倾斜角为α，知∠CFD为直角，即FT=(CD)/(2)，而PT=(AC+BD)/(2)=(AF+BF)/(2)=(AB)/(2)，有(FT)/(PT)＝(CD)/(AB)=|cosα|，即AB⊥FT，∴

FT

•

AB

=0，正确．
故选：D．