定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若CA=CB，则点C为△ABC的准外心．（1）应用：如图（1），在等边△ABC中，CD上任意一点都是△ABC的准外心．

Question

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若CA=CB，则点C为△ABC的准外心．
（1）应用：如图（1），在等边△ABC中，CD上任意一点都是△ABC的准外心．
①填空：若AB=6，则AD=______；
②在CD上取一点P，且PD＝(1)/(2)AB，请求出∠APB的度数．
（2）探究：如图（2），在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，准外心P在AC边上，试求PA的长．

Answer 1

（1）①∵CD上任意一点都是△ABC的准外心，
∴AD=DB=(1)/(2)AB=3．
故答案为3；
②如图，在CD上取一点P，则PA=PB，
又∵AD=DB，PD=(1)/(2)AB，
∴PD=AD=BD，CD⊥AB，
∴∠PAD=∠PBD=45°，
∴∠APB=90°；

（2）∵BC=3，AB=5，
∴AC=√(AB2−BC2)=4．
①若PB=PA，设PA=x，则x²=3²+（4-x）²，
∴x=(25)/(8)，即PA=(25)/(8)，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PC=PB，由图知，P在AB上，不可能在AC上．
故PA=2或(25)/(8)．