已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=2a（a＞0），∠BAC=120°．若AO＝αAB+βAC(α，β∈R)，则α+β的最小值为（）A．1B．2C．3D．2

Question

已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=(2)/(a)（a＞0），∠BAC=120°．若

AO

＝α

AB

+β

AC

(α，β∈R)，则α+β的最小值为（　　）

A．1
B．√(2)
C．√(3)
D．2

Answer 1

∵AB=2a，AC=(2)/(a)（a＞0），∠BAC=120°，
∴

AB

•

AC

=-2，
∵

AO

＝α

AB

+β

AC

(α，β∈R)，
∴

AO

•

AB

＝α

AB

2+β

AB

•

AC

AO

•

AC

＝α

AB

•

AC

+β

AC

2

，
∴

2a•a＝α•4a2−2β

(2)/(a)•(1)/(a)＝−2α+(4)/(α2)β

，
∴α=(2)/(3)+(1)/(3a2)，β=(2)/(3)+(a2)/(3)，
∴α+β=(4)/(3)+(1)/(3a2)+(a2)/(3)≥(4)/(3)+2√((1)/(3a2)•(a2)/(3))=2，
∴α+β的最小值为2．
故选：D．