已知三角形ABC,P为三角形所在平面上的动点点,且点P满足PA·PC+PA·PB+PB·PC=0则P点为三角形的垂心已知三角形ABC,P为三角形所在平面上的动点,且点P满足PA·PC+PA·PB+PB·PC=0则P点为三角形的垂心,为什

Question

已知三角形ABC,P为三角形所在平面上的动点点,且点P满足PA·PC+PA·PB+PB·PC=0则P点为三角形的垂心
已知三角形ABC,P为三角形所在平面上的动点,且点P满足PA·PC+PA·PB+PB·PC=0则P点为三角形的垂心,为什么?（前面的字母表示均为向量）

Answer 1

你的题目是错的：PA·PC+PA·PB+PB·PC=0
反例：
A,B,C是单位圆内的内接等边三角形的三个项点,
|PA|=|PB|=PC|
两两夹角为120度,
PA·PC+PA·PB+PB·PC=-1/2-1/2-1/2=-3/2≠0
你的题目应该是：
PA·PC=PA·PB=PB·PC
因为
PA·PC=PA·PB==》PA(PC-PB)=0
PA·BC=0
PA⊥BC,同理PB⊥AC ,PC⊥AB
所以p是三角形ABC的垂心；