向量两题1.设三角形ABC的外心为O,垂心为H.求证向量OH＝OA＋OB＝OC2.在三角形ABC中,内角A,B,C的对边为a,b,c．D,E分别是AB,BC的中点,且向量AB*CD=BC*AE.求证a2+c2=2b2

Question

向量两题
1.设三角形ABC的外心为O,垂心为H.求证向量OH＝OA＋OB＝OC
2.在三角形ABC中,内角A,B,C的对边为a,b,c．D,E分别是AB,BC的中点,且向量AB*CD=BC*AE.求证a2+c2=2b2

Answer 1

以下大写字母均为向量
1.由 AH*BC=0 得 (OH-OA)*BC=0
又(OB+OC)*BC=(OB+OC)*(OB-OC)=0
相减得 (OH-OA-OB-OC)*BC=0
同理得 (OH-OA-OB-OC)*AC=0
若(OH-OA-OB-OC)不为零向量,则其同时垂直于BC和AC,而BC和AC不互相平行,矛盾.命题得证,∴OH=OA+OB+OC
2.作AC边上的高BF,|AF|+|CF|=b
CA+AD=CD,AD=AB/2; EC+CA=-AE,EC=BC/2
∴AB(CA+AB/2)=-BC(BC/2+CA)
-cbcos∠A+c²/2=-a²/2+abcos∠C
a²+b²=2b(ccos∠A+acos∠C)=2b(|AF|+|CF|)=2b²