平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p>0）交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的渐近线

Question

平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁： (x2)/(a2)- (y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的渐近线与抛物线C₂：x²=2py（p>0）交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的渐近线方程为___．

Answer 1

联立渐近线与抛物线方程得A((2pb)/(a) ， (2pb2)/(a2)) ， B(-(2pb)/(a) ， (2pb2)/(a2))，抛物线焦点为F(0 ， (p)/(2))，
由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，
又kBF=((p)/(2)-(2pb2)/(a2))/((2pb)/(a))=(a)/(4b)-(b)/(a) ， kOA=(b)/(a)，
所以((a)/(4b)-(b)/(a))(b)/(a)=-1⇒(b2)/(a2)=(5)/(4)．
所以C₁的渐近线方程为y=±(√(5))/(2)x．
故答案为：y=±(√(5))/(2)x．