已知O为三角形所在平面内的一点,且满足│OA│^2+│BC│^2=│OB│^2+│CA│^2=│OC│^2+│AB│^2求证O是垂心

Question

已知O为三角形所在平面内的一点,且满足│OA│^2+│BC│ ^2=│OB│^2+│CA│^2=│OC│^2+│AB│^2
求证O是垂心

Answer 1

|OA|^2+|BC|^2=|OB|^2+|CA|^2=|OC|^2+|AB|^2==>
0=|OA|^2+|BC|^2-|OB|^2-|CA|^2=(OA-OB)(OA+OB)+(BC-CA)(BC+CA)=
=BA(OA+OB)+BA(BC-CA)=
=BA(OA+AC+OB+BC)=2BA*OC==>BA和OC垂直.
同理BC和OA垂直,CA和OB垂直.==》点O是△ABC的垂心 ,