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点H为三角形ABC的垂心,以AB为直径的圆O1和三角形BCH的外接圆圆O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求点P为CH中
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点H为三角形ABC的垂心,以AB为直径的圆O1和三角形BCH的外接圆圆O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求点P为CH中
▼优质解答
答案和解析
延长AP交圆O2于E点,连接BE、CE,延长BH交AC于点F.延长CH交AB于G
因为B,H,C,E四点共圆,∠BHC与∠BEC是O2内接四边形的内对角
所以∠BHC+∠BEC=180
在四边形AGHF中,
因为∠AGH=∠AFH=90
所以∠BAC+∠GHF=180
所以∠BAC+∠BHC=180
所以∠BAC=∠BEC
又有两个直角
所以三角形ABF相似于三角形BCE
又易证三角形AHF相似于三角形BCF
所以CE/AF=BC/BF=AH/AF
所以CE=AH
则三角形AHP全等于三角形PEC
则HP=PC
因为B,H,C,E四点共圆,∠BHC与∠BEC是O2内接四边形的内对角
所以∠BHC+∠BEC=180
在四边形AGHF中,
因为∠AGH=∠AFH=90
所以∠BAC+∠GHF=180
所以∠BAC+∠BHC=180
所以∠BAC=∠BEC
又有两个直角
所以三角形ABF相似于三角形BCE
又易证三角形AHF相似于三角形BCF
所以CE/AF=BC/BF=AH/AF
所以CE=AH
则三角形AHP全等于三角形PEC
则HP=PC
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