O是三角形ABC内一点,若三角形OAB面积：OBC面积：OAC面积=tanC:tanA:tanB,O是三角形的垂心

Question

O是三角形ABC内一点,若三角形OAB面积：OBC面积：OAC面积=tanC:tanA:tanB,O是三角形的垂心

Answer 1

图形不好画,你自己画一下.
设O1是三角形的垂心,下面证明O1与O重合.
连结BO1并延长交AC于点D,则BD⊥AC.
tanC=BD/DC,tanA=BD/DA,
tanC:tanA= DA/DC.
O是三角形ABC内一点,延长BO延长交AC于D1,
三角形OAB与三角形OBC由公共的底BO,相应的高设为h1,h2.
三角形OAB面积：OBC面积=h1:h2=D1A/D1C,
又因三角形OAB面积：OBC面积=tanC:tanA,
所以D1A/D1C= DA/DC,所以D1与D重合,
∵BD⊥AC,∴BD1⊥AC,即B0⊥AC,
同理可证A0⊥BC, C0⊥AB.
∴O是三角形的垂心.