如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π3，π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π6，交单位圆

Question

如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且 α∈((π)/(3) ，(π)/(2) ) ．将角α的终边按逆时针方向旋转 (π)/(6) ，交单位圆于点B．记A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）．
（Ⅰ）若x ₁ = (1)/(4) ，求x ₂ ；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S ₁ ，△BOD的面积为S ₂ ．若S ₁ =S ₂ ，求角α的值．

Answer 1

（I）由三角函数定义，得x ₁ =cosα， x 2 =cos(α+(π)/(6) ) ，
∵α∈（ (π)/(3) ， (π)/(2) ），cosα= (1)/(4) ，
∴sinα=

1 -((1)/(4) ) 2

= (15)/(4) ，
∴x ₂ =cos（α+ (π)/(6) ）= (3)/(2) cosα- (1)/(2) sinα= (3-15)/(8) ．
（Ⅱ）依题意得y ₁ =sinα，y ₂ =sin（ α+(π)/(6) ）．
∴S ₁ = (1)/(2) x ₁ y ₁ = (1)/(4) sin2α，
S ₂ = (1)/(2) |x ₂ |y ₂ = (1)/(2) sin（α+ (π)/(6) ）|cos（α+ (π)/(6) ）|=- (1)/(4) sin（2α+ (π)/(3) ），
∵S ₁ =S ₂
∴sin2α=-sin（2α+ (π)/(3) ）=- (1)/(2) sin2α- (3)/(2) cos2α，
整理得tan2α=- (3)/(3) ，
∵ (π)/(3) ＜α＜(π)/(2) ，
∴ (2π)/(3) ＜2α＜π，
∴2α= (5π)/(6) ，即α= (5π)/(12) ．