设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明：∠CAB+∠COP＜90°

Question

设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明：∠CAB+∠COP＜90°

Answer 1

这是第42届IMO的平面几何题.证明比较繁琐（不然就不叫imo了）.
令∠CAB=α,∠ABC=β,∠BCA=γ,∠COP=δ.
设K、Q分别为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,
R为△ABC的外接圆半径,则
OA=OB=OC=OK=R.
∵四边形KQPA为矩形,∴QP=KA,
在△AOK中,OA=OK=R,
∠AOK=∠AOB-∠KOB=∠AOB-∠AOC=2γ-2β≥60°.
∴KA≥R,QP≥R.
又依三角不等式有,
OP+R=OQ+OC>QC=QP+PC≥R+PC,
∴OP>PC.
∴∠PCO>∠COP=δ.
又α=½∠BOC=½(180°-2∠POC)=90°-∠POC,
∴α+δ