已知椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过椭圆焦点F(c,0)的直线与椭圆相交于P,Q两点,R点为P点关于x轴的对称点,且A(a^2/c,0),试证R,Q,A三点共线.

Question

已知椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过椭圆焦点F(c,0)的直线与椭圆相交于P,Q两点,R点为P点关于x轴的对称点,且A(a^2/c,0),试证R,Q,A三点共线.

Answer 1

方法有二,思路如下：
1.利用第二定义,几何知识.过A作右准线
过P,Q,R分别作PP',QQ',RR'⊥右准线与P',Q',R',
利用第二定义,可以得到
⊿RR'A≌⊿PP'A∽⊿QQ'A,
再设QQ‘与RA交于M,
证明Q与M重合即可.
2.利用代数的手段.
设过椭圆焦点F(c,0)的直线为：y=k(x-c)
与椭圆组成的方程组的解,得到
P(x1,y1) ,Q(x2,y2),R(x1,-y1)
x1+x2=2a^2*c*k^2/(b^2+a^2*k^2),x1*x2=(a^2*c^2*k^2-a^2*b^2)/(b^2+a^2*k^2)
y1=k(x1-c) y2=k(x2-c)
Q,R,A共线等价于y2/(x2-a^2/c)=-y1/(x1-a^2/c)
将x1+x2,x1*x2,y1,y2 的值代入上式可知等式成立.